Garis Tegak Lurus dan Proyeksi Sudut dalam Bidang

GARIS TEGAK LURUS DAN PROYEKSI SUDUT DALAM BIDANG

A.     Pengertian Garis tegak lurus bidang

a.   Sebuah garis tegaklurus bidang jika garis tersebut tegaklurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada bidang itu

b.   Jika sebuah garis tegak lurus bidang, maka garis itu akan tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang tersebut 

B.    Sifat Garis Tegak Lurus

Sifat yang berkaitan dengan garis tegak lurus bidang

a.   Jika suatu titik A terletak pada garis l, maka garis-garis itu tegak lurus l di A terletak pada satu bidang datar

b.   Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus pada sebuah bidang maka garis yang lain pasti tegak lurus pada bidang itu juga

c.   Jika dua buah garis, masing-masing tegaklurus pada suatu bidang maka kedua garis itu sejajar

d.   Melalui sebuah titik pada sebuah garis hanya dapat dibuat satu bidang yang tegak lurus pada garis itu

e.   Melalui sebuah titik di luar sebuah garis hanya dapat dibuat satu bidang yang tegak lurus garis tersebut

f.    Melalui sebuah titik pada suatu bidang hanya dapat dibuat satu garis lurus yang tegak lurus bidang tersebut

Terdapat banyak contoh dari garis tegak lurus ganden bidang di kehidupan kita sehari-hari. Kita menggunakan beberapa dari contoh ini memahami definisi.

l tegak lurus terhadap m. Kita tulis l ⊥ m

Definisi 1-21: Dua garis dikatakan tegak lurus jika kedua garis itu berpotongan dengan membentuk sudut-sudut yang kongruen.

Dari dasar pernyataan sederhana di atas yang dapat kita buktikan, kita akan menginterpretasikan definisi tegak lurus :

Saat dua garis saling tegak lurus, semua sudut yang terbentuk 90o (sudut siku-siku) dan kongruen.

Saat dua garis berpotongan membentuk satu, dua,atau tiga 90o (sudut siku-siku), garis garis itu membentuk empat sudut siku-siku yang saling tegak lurus.

Saat dua garis berpotongan membentuk sepasang sudut yang kongruen, maka garis-garis itu saling tegak lurus.

Definisi 1-22 : Suatu garis dikatakan tegak lurus dengan bidang jika garis itu tegak lurus dengan tiap garis yang terletak pada bidang yang berpotongan dengan garis tersebut

Garis l adalah tegak lurus dengan garis m,n,p dan lain-lain. Jadi garis l tegak lurus dengan bidang A.

Definisi 1-23 : Dua bidang dikatakan tegak lurus jika ada satu garis dalam satu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya.

Garis m berada di bidang B yang tegak lurus dengan bidang A. Jika bidang B tegak lurus dengan bidang A.

Definisi 1-24 : Bisector tegak lurus dari suatu ruas garis adalah suatu garis yang tegak lurus dengan ruas garis dan memuat titik tengahnya.

l adalah bisector tegak lurus dari ruas garis CD.

Definisi 1-25 : Jarak dari titik ke garis adalah panjang ruas garis yang digambarkan dari titik tegak lurus sampai ke garis.

AB adalah jarak dari titik A ke l.

Perhatikan gambar dibawah ini, jika sebuah garis tegak lurus pada dua buah garis yang sejajar yang terletak pada bidang, maka garis itu belum tentu tegak lurus pada bidang tersebut.

pada gambar tampak bahwa a // b, g   a  sehingga, g    b.       

Sedang a dan b terletak pada bidang h, maka garis g belum tentu atau belum pasti tegak lurus bidang h.

 Contoh soal:

Diketahui garis menembus bidang dan  di titik A dan B. Titik C pada bidang dan garis b pada bidang . Lukislah sebuah garis x yang melalui titik C dan memotong garis a dan b...

C.     Pengertian Proyeksi

a. Proyeksi sebuah titik A pada sebuah garis g adalah titik kaki A pada garis yang ditarik dari A tegaklurus pada garis g

b. Proyeksi sebuah titik A pada sebuah bidang a adalah titik kaki A pada garis yang ditarik dari titik A tegak lurus pada bidang a.

c. Proyeksi sebuah garis g pada sebuah bidang a pada umumnya adalah sebuah garis lurus yaitu himpunan titik-titik proyeksi dari titik-titik garis g pada bidang a

@ Untuk memproyeksikan ruas garis yaitu cukup diproyeksikan titik-titik ujung ruas garis tersebut

@ Proyeksi ruas garis adalah ruas garis yang menghubungkan proyeksi titik ujung garis itu.

D. Sudut

a. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis itu dan proyeksi garis tersebut pada bidang yang bersangkutan

b. Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh garis pertama pada bidang pertama dan garis kedua pada bidang kedua yang tegak lurus di satu titik pada garis potong kedua bidang

Sudut Pada Bangun Ruang:

      Sudut antara dua garis

      Sudut antara garis dan bidang

      Sudut antara bidang dan bidang

1.     Sudut antara Dua Garis

Yang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis adalah besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut

Contoh :

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

b. AH dengan AF

c. BE dengan DF

Pembahasan

Besar sudut antara garis-garis:

a. AB dengan BG= 90⁰

b. AH dengan AF= 60⁰ (∆ AFH smss)

c. BE dengan DF= 90⁰ (BE ^ DF)

2.     Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang b dilambangkan (a,b) adalah sudut antara garis a dan proyeksinya pada b.Sudut antara garis PQ dengan V

  = sudut antara PQ dengan P’Q

  = Ð PQP’

Contoh 1

Diketahui

kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. Gambarlah sudut antara garis BG dengan ACGE, Kemudian hitunglah besar sudutnya!

Pembahasan Proyeksi garis BGpada bidang ACGE adalah garis KG (K =  titik potong AC dan BD) Jadi Ð(BG,ACGE) = Ð(BG,KG)                               = ÐBGK

Pembahasan

BG = 6√2 cm

              BK = ½BD

                    = ½.6√2

                    = 3√2 cm

Contoh 2

Diketahui:

kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 8 cm. Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah….

Pembahasan tanÐ(CG,AFH)         = tan Ð(PQ,AP)         = tan ÐAPQ Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah½√2

3.     Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara bidang a dan bidang b adalah sudut antara garis g dan h, dimana g ^ (a,b) dan h ^ (a,b). (a,b) garis potong bidang a dan b.

Contoh 1

Diketahui kubus

    ABCD.EFGH

a. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCD

b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

Pembahasan

a. Ð(BDG,ABCD)

    • garis potong BDG dan ABCD ® BD

    • garis pada ABCD yang ^ BD ® AC

    • garis pada BDG yang ^ BD ® GP

Jadi Ð(BDG,ABCD) = Ð(GP,PC)

                                 =ÐGPC

Contoh 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 4 cm. Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD. Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah a. Nilai cosa =…

Pembahasan

   • Ð(FHQP,AFH)

          = Ð(KL,KA)

          = ÐAKL = a

   • AK = ½a√6 = 2√6

   • AL = LM = ¼ AC

           = ¼a√2 = √2

   

           

Pembahasan

• AK = 2√6 , AL = √2

  KL = 3√2

AturanCosinus:

AL² = AK² + KL² – 2AK.KLcosa

    2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosa

24√3.cosa = 42 – 2

      24√3.cosa = 40

cosa =5/9√3

Jadinilai cosa=5/9√3

BAB III

PENUTUP

1.1         KESIMPULAN

Sebuah garis tegak lurus bidang jika garis tersebut tegak lurus pada dua garis yang  berpotongan yang terletak pada bidang itu. Jika sebuah garis tegak lurus bidang maka garis itu akan tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang tersebut 

1.2         SARAN

       Penyusun mengakui makalah ini jauh dari kata sempurna oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun dari dosen pengampu dan rekan-rekan  supaya kami bisa lebih baik lagi, dan untuk menambah pengetahuan kami tentunya.

DAFTAR PUSTAKA

http://ranggimulia.blogspot.com/2013/03/ringkasan-teori-dimensi-tiga-garis.html

https://rbaryans.files.wordpress.com/2007/06/dimensi_tiga_proyeksi_sudut.ppt

http://kidungilmu.blogspot.com/2015/03/garis-tegak-lurus-dengan-bidang.html 
Dengan demikian, saya kirimkan Power point dari makalah ini sebagai berikut, Klik Disini: https://drive.google.com/file/d/1MlGrkfzZtRbibhohYtiiVoZ5O2L-kiE9/view?usp=sharing